Gödel, Tarski en die Kruis

Ek wil hier net enkele pennestrepe trek ter wille van my eie verbetering in begrip oor Gödel en Tarski se onvolledigheid- en ondefinieerbaarheidstellings respektiewelik.

Hierdie stelling(s) - en ek praat nou spesifiek oor Gödel se stelling(s) - is geskryf in die tyd toe die logiese positiwisme hoogty gevier het. Daar is ’n ambisieuse ‘projek’ geloots om die fondasie van die boublokke van die wiskunde tot etlike aksiomas te reduseer en die konsekwentheid en volledigheid van wiskunde as sisteem te bewys.

Gödel het egter deur middel van basiese rekenkunde bewys dat daar dinge in die sisteem is wat wel waar is maar nie bewys kan word deur die sisteem self nie.

Hy het logiese stellings (deur logiese simbole uitgedruk) in basiese rekenkunde kon uitdruk en daardeur dit reggekry dat rekenkunde met rekenkunde self kon ‘praat’.

So, gestel ’n mens het ’n stelling: “Die koei is nie ’n kat nie.”

Hierdie stelling kan in logiese terme soos volg uitgedruk word:

¬C(c)

1.       C(x) beteken “x is ’n kat”

2.       "c" (kleinletter) verteenwoordig die koei

3.       ¬ beteken “nie"

Hoe ‘vertaal' Gödel hierdie logiese stelling dan in basiese rekenkunde uit?

Hy bied aan elke logiese simbool (C(x), c, ¬) ’n getal. Dit sal soos volg lyk

Simbool: Getal Toegeken:

¬ => 1

C => 2

( => 3

“c” (kleinletter) => 4

) => 5

So die logiese stelling sal dus so in basiese rekenkunde lyk:

1, 2, 3, 4, 5

Die volgende stap is om Gödel nummering op hierdie ‘stel' getalle toe te pas. Dit word gedoen deur priemgetalverheffing.

So elke getalletjie in die ‘stel' word ’n priemgetal toegeken. So sal die eerste getal in die stel (1) die eerste priemgetal (2) toegeken word. 1 word dan verhef tot die priemgetal 2. So dis 2 tot die mag van 1 of dan: 21 

Hierdie proses word dan op elke getalletjie toegepas. Dit sal dan soos volg lyk: 

21 x 32 x 53 x 74 x 115

Hierdie som word vervolgens opgetel. Bogenoemde som sal neerkom op: 

870,037,764,750 

Hierdie getal verteenwoordig dan ten slotte die stelling: Die koei is nie ’n kat nie. Dit is ’n soort koderingsisteem. Hierdie spesifieke kode is die enigste kode wat presies die logiese stelling verteenwoordig. 

Vervolgens het Gödel ’n teenstrydige stelling so gekodeer en deurmiddel daarvan aangedui dat die verteenwoordigende ‘getallekode’ ’n stelling maak, maar dit is ’n stelling wat nie bewys kan word nie. Hierdie stelling is: “Hierdie stelling is vals”.

Die teenstrydigheid of paradoks lê hierin dat indien die stelling waar sou wees, dit eintlik vals sou moes wees en indien dit vals sou wees, die stelling waar sou wees.

Of hierdie stelling dan nou waar of vals is, is onbewysbaar siende dat dit telkens op ’n paradoks neerkom.

As daar dan, deur middel van Gödel se nummering, ’n getallekode is wat presies hierdie bogenoemde stelling verteenwoordig of kodeer, dan beteken dit in hierdie geval ‘huisves' of verteenwoordig die rekenkunde ’n onbewysbare stelling.

So het Gödel dit dan reggekry vir die rekenkunde om oor die rekenkunde self te kan praat en die rekenkunde self het ‘getuig’ dat dit wel stellings kan uitdruk, maar dat nie alle stellings wat dit uitdruk bewys kan word nie. Die logiese positiwisme is hierdeur ’n doodsteek toegedien. Geen sisteem kan volledig deur middel van homself funksioneer nie. Daar is ’n meta-sisteem nodig vir daardie sisteem om ten volle te kan bestaan en funksioneer.

Myns insiens het ons dus hier met ’n selfreferensie probleem te make. So dra ’n sisteem selfreferensie kan toepas beteken dit hy bestaan binne ’n meta-sisteem - ’n sisteem groter as homself. ’n Sisteem kan nie (sonder om in ’n meta-sisteem ingebed te wees) na homself verwys sonder om selfvernietigend te wees  nie. So kan logika nie uiteindelik gebruik word om logika te bewys nie want die logika wat gebruik word om dieselfde logika te bewys moet ook eers bewys word. Die sisteem wat homself wil bewys vanuit homself is gelykstaande aan die gedagte van die Ouroboros - die slang wat sy eie stert begin op-eet. 

Die implikasies hiervan is verrykend. Ek wil hier egter net twee belangrike gevolge uitlig.

1. Sommige meen dat hierdie onvolledigheidstelling(s) deur Gödel beperk is tot die wiskunde en logika. Alfred Tarski het egter Gödel se stelling(s) verder geneem en op meer ‘algemene’ of dalk eerder op breër terrein toegepas. Vanaf wikipedia het ek die volgende handige verduideliking kon vind:

“ Tarski's undefinability theorem, stated and proved by Alfred Tarski in 1933, is an important limitative result in mathematical logic, the foundations of mathematics, and in formal semantics. Informally, the theorem states that "arithmetical truth cannot be defined in arithmetic”.
The theorem applies more generally to any sufficiently strong formal system, showing that truth in the standard model of the system cannot be defined within the system.”

Nou is my vraag hoe ‘algemeen’ kan hierdie stellings geneem word? Hoeveel verder gaan dit as bloot die wiskunde en logika? Dit geld, soos ek dit verstaan, ten minste van taal en het daarom gevolge vir hermeneutiek en eksegese. Gestel ’n mens het weereens die stelling: die koei is nie ’n kat nie. Ek kan nou deur middel van taal (letters, woorde, sinne ens.) oor die stelling self praat. Ek kan bv. sê dat met die woord “ koei”  so en so bedoel en met die woord “kat” ’n huiskat bedoel. Ek gebruik dus die sisteem self om oor die sisteem self te praat. Hier is selfreferensie ter sprake. Maar hierdie selfreferensie sal net kon werk in hierdie geval omdat daar ’n groter, hoër werklikheidsisteem - ’n meta-sisteem - is wat betekenis aan die woorde “koei” en “kat” gee. Die woordjies - die samestelling van letters - is nie die koei of die kat self nie, maar verteenwoordig daardie werklikheid. Die woorde wys na ’n hoër betekenis agter die simboliek (die woorde).

Die interpretasie van die stelling: “die koei is nie ’n kat nie” kan, aldus Gadamer, nie bloot suiwer metodologies (positiwisties) gebeur nie. Interpretasie soek na betekenis. Die betekenis van bogenoemde stelling kan egter nie metodologies binne die “geslote” sisteem van taal geskied nie omdat daar ander stellings is (soos: hierdie stelling is vals) wat op ’n paradoks uitloop en die sisteem in ’n krisis dwing. Sulke stellings “breek” uiteindelik die sisteem waarbinne dit ontstaan. Dit is ’n bewys dat die taal-sisteem insigself onvolledig en ondefinieerbaar is. Koherente betekenis moet vanuit ’n meta-sisteem aan die woorde in die taal-sisteem gebied word.

So bied bv. die geskiedenis, konteks en tradisie van beide die skrywer en die leser of hoorder insae tot die interpretasie van woorde. Om te verstaan is dus nie ’n kliniese metodologie wat aangeleer en toegepas kan word om klink-klaar die betekenis uit woorde - soos water uit reënbakke - te skep nie. Om te verstaan is deel van ons wese (Dasein) wat binne ons eie bepaalde konteks, geskiedenis en tradisie funksioneer.

Om hierdie rede stel Gadamer dat ‘voorveronderstellings’ (Vorurteile), soos deur die empiriste en positiwiste en die sogenaamde “neutrale” wetenskapbeoefenaars verfoei word, nie iets is wat ons mag of enigsins kán ontken as dat dit deel van ons wese uitmaak nie. Voorveronderstellings moet, inteendeel, positief omhels word. Dit is immers die noodsaaklike beginpunt van verstaan. Voorveronderstellings is die horison van vervwagtings (gevorm deur taal, kultuur ens.) waaruit ons ’n teks benader om tot die betekenis daarvan te kom.

Tog handhaaf Gadamer hier geensins die relativistiese opvatting wat beweer dat alle betekenis aan die self oorgelaat word nie. Inteendeel, Gadamer benadruk die noodsaaklikheid van die horisonsversmelting (Horizontverschmelzung) van skrywer en leser. Via die teks dra die skrywer (tot hoe ’n mate weet ek nie) betekenis, voortspruitend uit sy eie geskiedenis, konteks, kultuur ens. Oor. Wat geskryf is kom dus vanuit ’n bepaalde horison van verwagting. Die leser aan die ander kant van die teks het op sy beurt ook ’n bepaalde horison van verwagting gevorm deur reedsgenoemde aspekte en ware verstaan - of dan die opheldering van betekenis - geskied wanneer hierdie horisonne (van skrywer en leser) versmelt. Betekenis van die teks geskied dus nie deur rekonstruksie van die skrywer se bedoelinge nie, maar deur ’n dinamiese fusie wat betekenis in die hede verryk.[1]

Dit is duidelik dat hierdeur ’n organiese inspirasieteorie van die Skrif gehandhaaf word. Die etlike skrywers waardeur God die Skrif laat opteken het, het elk hul eie geskiedenis, kultuur, konteks en taal gehad. Hulle het dus self verskillende verwagtingshorisonne gehad. As ons iets soos ’n meganiese inspirasieteorie bepleit sou dit moes beteken dat God - wat die direkte gewer van die teks sou wees - self ’n verwagtingshorison moes hê wat uit ’n geskiedenis, kultuur, konteks ens. sou moes bestaan. God het egter nie ’n geskiedenis, kultuur of konteks nie; Hy het niks wat aan Hom betekenis moet verleen nie; Hy is betekenis self.

2. Die tweede gevolg van bogenoemde stelling(s) waarop ek kortliks wil uitbrei is dat ’n mens moontlik tot ’n beter begrip van wat met die sondeval gebeur het kan kom. Hier strek ek dalk Gödel en Tarski se stellings tot op breekpunt, maar die poging, dink ek, dra meriete - ookal is dit min.

Wat die Satan vir die Vrou daar in Genesis 3 valslik voorgetower het was niks anders nie as ’n geslote sisteem waarin die selfrefleksiewe kommunikasie binne daardie sisteem nooit tot paradokse sou uitloop nie. Die Satan het aan Adam en Eva die argitektuur van ’n geslote, volledig definieerbare sisteem sonder die noodsaaklikheid van ’n meta-sisteem aangebied met die woorde: “julle sal soos God wees.”

Dit is ’n leuen van selfvoldaanheid. ’n Leuen as aanhef vir ’n geslote sisteem wat so in homself ingekeer word dat dit inplof - dit is selfvernietigend. Want die volle betekenis en sin van die mens kan nie uit die mens self voortspruit nie. Die mens is nie uit en deur en tot homself nie. Die mens koop met die sondeval in op ’n geslote sisteem wat nie die kapasiteit het om die volle betekenis van die mens self te dra nie. Die mens word dan soos ’n stelling wat nie bewys kan word nie. Dit wat bewys moet word, dra die bewyslas. Die mens word die paradoksale Ouroboros van selfreferensie. Jy vreet jouself uiteindelik op!

Die opeet, die finale inploffing van die selfreferensie-paradoks van die mens vind plaas daar aan die kruis. Jesus sterf - Hy dra die volle gevolge van die geslote sisteem. Maar die wonder hiervan is groot. Want Jesus is die God-mens! ’n Mens kan - in alle peïteit - Hom die meta-mens noem; die Een groter as die voorgetowerde geslote sisteem. Hy dra die volle betekenis van menswees enersyds binne die verdoemende paradoks van die geslote sisteem en andersyds binne ons sisteem regmatig binne die grense gestipuleer deur die Een wat alle betekenis dra - God self. In Christus klaar die paradoks op. Deur Hom verstaan ons, ken ons en kry alles betekenis.

[1] Horisonsversmelting is dus, as ek Gadamer reg verstaan, die wesentlike doel van eksegese.